Математический анализ Примеры

$\int (\frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x}}{4}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x}}{4} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{4} d x$

Этап 2.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}{4} d x$

Этап 2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{1 + \frac{1}{2}}}{4} d x$

Этап 2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4} d x$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{2 + 1}{2}}}{4} d x$

Этап 2.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 5.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ на $\frac{1}{4}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 4} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $5$ на $4$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{20} + C$

Этап 10.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{5}{2}})}{20} + C$

Этап 10.2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 10} + C$

Этап 10.2.5.2

Сократим общий множитель.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 10} + C$

Этап 10.2.5.3

Перепишем это выражение.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$