Математический анализ Примеры

$f (x) = {\begin{cases} c x^{2} + 4 x & x < 5 \\ x^{3} - c x & x \geq 5 \end{cases}$

Этап 1

Найдем предел $c x^{2} + 4 x$ , когда $x$ стремится к $5$ слева.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим двусторонний предел на левосторонний.

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + 4 x$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Этап 1.3

Вынесем член $c$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$c lim_{x \to 5^{-}} x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Этап 1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Этап 1.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

Этап 1.6

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$c \cdot 5^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

Этап 1.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$c \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$c \cdot 25 + 4 \cdot 5$

Этап 1.7.2

Перенесем $25$ влево от $c$ .

$25 \cdot c + 4 \cdot 5$

Этап 1.7.3

Умножим $4$ на $5$ .

$25 c + 20$

Этап 2

Найдем значение $x^{3} - c x$ в точке $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

${(5)}^{3} - c \cdot 5$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 - c \cdot 5$

Этап 2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$125 - 5 c$

Этап 3

Поскольку предел $c x^{2} + 4 x$ , когда $x$ стремится к $5$ слева, не равен значению функции в точке $x = 5$ , функция не является непрерывной в точке $x = 5$ .

Не является непрерывной

Этап 4