Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y'} y = \frac{d}{d y'} \cdot \frac{5 - {y'}^{2}}{5 + {y'}^{2}}$

Этап 2

Производная $y$ по $y'$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [\frac{f (y')}{g (y')}]$ имеет вид $\frac{g (y') \frac{d}{d v} [f (y')] - f (y') \frac{d}{d v} [g (y')]}{{g (y')}^{2}}$ , где $f (y') = 5 - {y'}^{2}$ и $g (y') = 5 + {y'}^{2}$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 - {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $5 - {y'}^{2}$ по $y'$ имеет вид $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $y'$ , производная $5$ относительно $y'$ равна $0$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y'$ , производная $- {y'}^{2}$ по $y'$ равна $- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ имеет вид $n {y'}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- (2 y')) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $5 + {y'}^{2}$ по $y'$ имеет вид $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $5$ является константой относительно $y'$ , производная $5$ относительно $y'$ равна $0$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.10

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (2 y')}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') + (- 2 \cdot 5 - 2 (- {y'}^{2})) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{- 10 y' + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{2} y' - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3

Умножим ${y'}^{2}$ на $y'$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.3.1

Перенесем $y'$ .

$\frac{- 10 y' - 2 (y' {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3.2

Умножим $y'$ на ${y'}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.3.2.1

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$\frac{- 10 y' - 2 ({y'}^{1} {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{1 + 2} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.4

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.5

Умножим ${y'}^{2}$ на $y'$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.5.1

Перенесем $y'$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- (y' {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.5.2

Умножим $y'$ на ${y'}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.5.2.1

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- ({y'}^{1} {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{1 + 2})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{3})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Объединим противоположные члены в $- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Добавим $- 2 {y'}^{3}$ и $2 {y'}^{3}$ .

$\frac{- 10 y' - 10 y' + 0}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.2.2

Добавим $- 10 y' - 10 y'$ и $0$ .

$\frac{- 10 y' - 10 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.3

Вычтем $10 y'$ из $- 10 y'$ .

$\frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

${(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Этап 5.2

Каждый член в $y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ умножим на ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ на ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ .

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ в числитель.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Этап 5.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - 20 y'$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Добавим $20 y'$ к обеим частям уравнения.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перепишем ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ в виде $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ .

$y' ((5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.2

Развернем $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (5 (5 + {y'}^{2}) + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.3.1.2

Перенесем $5$ влево от ${y'}^{2}$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 \cdot {y'}^{2} + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.3.1.3

Умножим ${y'}^{2}$ на ${y'}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2 + 2}) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.3.1.3.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.3.2

Добавим $5 {y'}^{2}$ и $5 {y'}^{2}$ .

$y' (25 + 10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y' \cdot 25 + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.1

Перенесем $25$ влево от $y'$ .

$25 \cdot y' + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + y' {y'}^{4} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.5.3

Умножим $y'$ на ${y'}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.3.1

Умножим $y'$ на ${y'}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.3.1.1

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1} {y'}^{4} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.5.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1 + 4} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.5.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.6

Умножим $y'$ на ${y'}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.6.1

Перенесем ${y'}^{2}$ .

$25 y' + 10 ({y'}^{2} y') + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.6.2

Умножим ${y'}^{2}$ на $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.6.2.1

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$25 y' + 10 ({y'}^{2} {y'}^{1}) + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 y' + 10 {y'}^{2 + 1} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.2.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$25 y' + 10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Этап 5.3.1.3

Добавим $25 y'$ и $20 y'$ .

$10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

Этап 5.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $10 {y'}^{3}$ .

$y' (10 {y'}^{2}) + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{5}$ .

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 45 y' = 0$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $y'$ из $45 y'$ .

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

Этап 5.3.2.1.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4})$ .

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

Этап 5.3.2.1.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45$ .

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4} + 45) = 0$

Этап 5.3.2.2

Изменим порядок членов.

$y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$

Этап 5.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y' = 0$

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

Этап 5.3.4

Приравняем $y'$ к $0$ .

$y' = 0$

Этап 5.3.5

Приравняем ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ к $0$ , затем решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Приравняем ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ к $0$ .

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

Этап 5.3.5.2

Решим ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Подставим $u = {y'}^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 10 u + 45 = 0$

$u = {y'}^{2}$

Этап 5.3.5.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3.5.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 10$ и $c = 45$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 45)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.4.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.3

Вычтем $180$ из $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.4

Перепишем $- 80$ в виде $- 1 (80)$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (80)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.7

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Этап 5.3.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.3

Вычтем $180$ из $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.4

Перепишем $- 80$ в виде $- 1 (80)$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (80)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.7

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Этап 5.3.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.6.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.3

Вычтем $180$ из $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.4

Перепишем $- 80$ в виде $- 1 (80)$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (80)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.7

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.6.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Этап 5.3.5.2.6.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}, - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.8

Подставим вещественное значение $u = {y'}^{2}$ обратно в решенное уравнение.

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.9

Решим первое уравнение относительно $y'$ .

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.10

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y' = \pm \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.5.2.10.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.10.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.5.2.10.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y' = - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.5.2.10.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.5.2.11

Решим второе уравнение относительно $y'$ .

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.12

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.12.1

Избавимся от скобок.

${y'}^{2} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Этап 5.3.5.2.12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y' = \pm \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.5.2.12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.5.2.12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y' = - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.5.2.12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.5.2.13

Решением ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ является $y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$ .

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Этап 5.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$ верно.

$y' = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d v}$ .

$\frac{d y}{d v} = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$