Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 6.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 6.2.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 6.2.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 6.2.3.6

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 6.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 6.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 6.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 6.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 6.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 6.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 6.2.3.11

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3.12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3.13

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3.14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.14.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3.14.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3.14.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.14.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

Этап 6.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2}{6}$

Этап 6.2.3.16

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$0.1\overline{6}$

Этап 8