Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}}{x - 3}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9 x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{9}{9}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{9}{x^{2} \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}}{x - 3}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{9}{x^{2} \cdot 9} - \frac{x^{2}}{9 x^{2}}}{x - 3}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $x^{2} \cdot 9$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{9}{9 x^{2}} - \frac{x^{2}}{9 x^{2}}}{x - 3}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{9 - x^{2}}{9 x^{2}}}{x - 3}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} \frac{9 - x^{2}}{9 x^{2}} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{9 - x^{2}}{9 x^{2}}$ на $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{9 - x^{2}}{9 x^{2} (x - 3)}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{9}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} (x - 3)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}{lim_{x \to 3} x^{2} (x - 3)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} x^{2} (x - 3)}$

Этап 3.1.2.1.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} x^{2} (x - 3)}$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} x^{2} (x - 3)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 - 3^{2}}{lim_{x \to 3} x^{2} (x - 3)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} (x - 3)}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} x^{2} (x - 3)}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} (x - 3)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}$

Этап 3.1.3.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{3^{2} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Этап 3.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{3^{2} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 3.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{9 \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Этап 3.1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{9 \cdot (3 - 3)}$

Этап 3.1.3.6.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{9 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.6.4

Умножим $9$ на $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{9} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} (x - 3)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $9 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]}$

Этап 3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{0 - 1 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]}$

Этап 3.3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} (x - 3)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.11

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + (x - 3) \cdot 2 x}$

Этап 3.3.13

Перенесем $2$ влево от $x - 3$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + 2 \cdot (x - 3) x}$

Этап 3.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 3) x}$

Этап 3.3.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x}$

Этап 3.3.14.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.14.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + 2 x^{1} x + 2 \cdot - 3 x}$

Этап 3.3.14.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + 2 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 3 x}$

Этап 3.3.14.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 3 x}$

Этап 3.3.14.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x}$

Этап 3.3.14.3.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{x^{2} + 2 x^{2} - 6 x}$

Этап 3.3.14.3.6

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} - 6 x}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot - 2 lim_{x \to 3} \frac{x}{3 x^{2} - 6 x}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{9} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x}$

Этап 4.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 3} x}{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x}$

Этап 4.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{9} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 3} x}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x}$

Этап 4.6

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 3} x}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot - 2 \frac{3}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot - 2 \frac{3}{3 \cdot 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot - 2 \frac{3}{3 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{9} \cdot \frac{3}{3 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{- 2}{3 (3)} \cdot \frac{3}{3 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{3 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{3^{1} \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3}$

Этап 6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{3^{1 + 2} - 6 \cdot 3}$

Этап 6.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{3^{3} - 6 \cdot 3}$

Этап 6.4

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{3^{3} - 18}$

Этап 6.5

Умножим $\frac{- 2}{3}$ на $\frac{1}{3^{3} - 18}$ .

$\frac{- 2}{3 (3^{3} - 18)}$

Этап 6.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{- 2}{3 (27 - 18)}$

Этап 6.6.2

Вычтем $18$ из $27$ .

$\frac{- 2}{3 \cdot 9}$

Этап 6.7

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{- 2}{27}$

Этап 6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{27}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2}{27}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{074}$