Математический анализ Примеры

$\int 4 \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Этап 2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 \int \tan^{3} (x) \sec^{1} (x) d x$

Этап 3

Вынесем $\tan^{2} (x)$ за скобки.

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Этап 5

Упростим.

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec (x) d x$

Этап 6

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 6.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int - 1 + u^{2} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$4 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$4 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$4 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$4 (- \sec (x) + \frac{1}{3} \sec^{3} (x)) + C$