Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + h}$ в виде ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - \sqrt{x}}{h}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h}]$

Этап 1.3

Поскольку $\frac{1}{h}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h}$ по $x$ равна $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.4

По правилу суммы производная ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{{(x + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 7.3

Перенесем ${(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 8

По правилу суммы производная $x + h$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 10

Поскольку $h$ является константой относительно $x$ , производная $h$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 11.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 15

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 17.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 19

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 20

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{h} \cdot \frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{h} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Умножим $\frac{1}{h}$ на $\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{h} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 21.2.2

Умножим $\frac{1}{h}$ на $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{h (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 21.2.3

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1.1

Перепишем.

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{h \cdot 2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3.2

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$\frac{1}{2 h {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$