Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.9

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.12.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.12.3

Объединим $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.16

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.16.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.16.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.18

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.19

Чтобы записать ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.21.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.21.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.22

Упростим ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.23

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{2} + 1$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4.6.2

Перенесем $4$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.5.2

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.10.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Этап 2.11

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14.4

Сократим общий множитель.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14.5

Перепишем это выражение.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.2

Умножим $- 2 x^{2} - 1$ на $\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.3

Чтобы записать $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5

Перепишем $\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $(- 2 x^{2} - 1) x$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 1)$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.2

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.5.2.1

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{1} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.3

Упростим $4 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x (4 (x^{2} + 1) - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 4 - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.2.5.7

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.3.1

Перепишем $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ в виде произведения.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15.3.2

Умножим $\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Этап 2.15.3.3

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.3.3.1

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.3.3.1.1

Возведем $x^{2} + 1$ в степень $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 2.15.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.15.3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.15.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.15.3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x (2 x^{2} + 3)$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.3

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.4.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + 0) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.4.6

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x^{1} x) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x^{1} x^{1}) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{1 + 1} + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} + 3) \cdot 1) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.8.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Умножим $2 x^{2} + 3$ на $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + 2 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.8.3.2

Добавим $4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.9.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.13.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.14.2

Объединим $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.15

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.17

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - 2 \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{- 2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.18.5

Объединим $x$ и $\frac{- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.19

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1} x (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.20

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1} x^{1} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1 + 1} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.22

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{2} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.23

Вынесем множитель $2$ из $x^{2} (- 6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.24

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.24.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.24.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.24.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{1} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.24.4

Разделим $x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ на $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.25

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.25.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $- 3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.25.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) - 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.25.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.25.4

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.26

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.26.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.26.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.27

Упростим.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 3.28

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 3.29

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{3}$ на ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.29.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3 - \frac{1}{2}}}$

Этап 3.29.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Этап 3.29.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Этап 3.29.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Этап 3.29.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.29.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Этап 3.29.5.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.2.1.1

Развернем $(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (6 x^{2} + 3) + 1 (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.2.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{6 x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.2.1.4

Умножим $6 x^{2}$ на $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.2.2

Добавим $3 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.2.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{2 + 2} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.5

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.1.6

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.2

Объединим противоположные члены в $6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.30.2.2.1

Вычтем $6 x^{4}$ из $6 x^{4}$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 + 0 - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.2.2

Добавим $9 x^{2} + 3$ и $0$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.2.3

Вычтем $9 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{0 + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.30.2.2.4

Добавим $0$ и $3$ .

$f''' (x) = \frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Этап 4.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ в виде ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Этап 4.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Этап 4.1.2.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Этап 4.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.7.2

Объединим ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ и $\frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Перенесем $5$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$3 (- \frac{5 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.7.3.2

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.7.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.7.4

Объединим $\frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ и $- 3$ .

$\frac{5 \cdot - 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.5.1

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{- 15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.7.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 4.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x)$

Этап 4.11.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Этап 4.11.3

Объединим $- 2$ и $\frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Этап 4.11.4

Умножим $- 2$ на $15$ .

$\frac{- 30}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Этап 4.11.5

Объединим $\frac{- 30}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 30 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.11.6

Вынесем множитель $2$ из $- 30 x$ .

$\frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 (- 15 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}})}$

Этап 4.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$