Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{1} (4 x^{2} - 2 x + 3) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{2} - 2 x + 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 2$ .

$4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Этап 10.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 2$ .

$4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Этап 10.3

Найдем значение $3 x$ в $1$ и в $- 2$ .

$4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$4 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.5

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$4 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{1 + 8}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.7

Добавим $1$ и $8$ .

$4 (\frac{9}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.8

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$4 \frac{3 \cdot 3}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{3}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.8.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$4 \cdot 3 - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.9

Умножим $4$ на $3$ .

$12 - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.11

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.12

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.12.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 2) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.14

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.15

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 - 2 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.17.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$12 - 2 \frac{1 - 4}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.17.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$12 - 2 (\frac{- 3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$12 - 2 (- \frac{3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.19

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$12 + 2 (\frac{3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.20

Объединим $2$ и $\frac{3}{2}$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.21

Умножим $2$ на $3$ .

$12 + \frac{6}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.22

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.22.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$12 + \frac{3}{1} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.22.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$12 + 3 + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.23

Добавим $12$ и $3$ .

$15 + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.24

Умножим $3$ на $1$ .

$15 + 3 - 3 \cdot - 2$

Этап 10.4.25

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$15 + 3 + 6$

Этап 10.4.26

Добавим $3$ и $6$ .

$15 + 9$

Этап 10.4.27

Добавим $15$ и $9$ .

$24$

Этап 11