Математический анализ Примеры

$x^{2} {(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} {(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((x - y) (x - y))]$

Этап 2.2

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x (x - y) - y (x - y))]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))]$

Этап 2.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x - y (- y))]$

Этап 2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)]$

Этап 2.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))]$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})]$

Этап 2.3.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x + y^{2})]$

Этап 2.3.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})]$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - 2 x y + y^{2})]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + y^{2}] + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$x^{2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6

$x^{2} (2 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.8.2

Умножим $y$ на $1$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.9.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.10

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 y y') + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 y y') + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) (2 x)$

Этап 2.12

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 y y') + 2 \cdot (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (2 x - 2 (x y') - 2 y + 2 y y') + 2 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x$

Этап 2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (2 x) + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x$

Этап 2.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (2 x) + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + (2 x^{2} + 2 (- 2 x y) + 2 y^{2}) x$

Этап 2.13.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (2 x) + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.5.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.5.3.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{3} + x \cdot x^{2} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{3} + x^{1} x^{2} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{3} + x^{1 + 2} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.4

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 \cdot x^{2} y y' + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{1 + 2} + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.7

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.8

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 (x y) x + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 (x^{1} x) y + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 (x^{1} x^{1}) y + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 x^{1 + 1} y + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.12

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.13

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' - 4 x^{2} y + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.14

Вычтем $4 x^{2} y$ из $x^{2} (- 2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.5.14.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $- 2$ .

$4 x^{3} + x^{3} (- 2 y') - 2 \cdot x^{2} y - 4 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.5.14.2

Вычтем $4 x^{2} y$ из $- 2 \cdot x^{2} y$ .

$4 x^{3} + x^{3} (- 2 y') - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Этап 2.13.6

Изменим порядок членов.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - (2 y y')$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x - 2 y y'$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$- 2 y y' + 2 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = - 2 y y' + 2 x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2 y y'$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 2 y y' = 2 x$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 2 y y' = 2 x - 4 x^{3}$

Этап 5.2.2

Добавим $6 x^{2} y$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x^{3} y' + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 2 y y' = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y$

Этап 5.2.3

Вычтем $2 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{3} y' + 2 x^{2} y y' + 2 y y' = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 x^{3} y' + 2 x^{2} y y' + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 x^{3} y'$ .

$2 y' (- x^{3}) + 2 x^{2} y y' + 2 y y' = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x^{2} y y'$ .

$2 y' (- x^{3}) + 2 y' (x^{2} y) + 2 y y' = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' (- x^{3}) + 2 y' (x^{2} y) + 2 y' y = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- x^{3}) + 2 y' (x^{2} y)$ .

$2 y' (- x^{3} + x^{2} y) + 2 y' y = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- x^{3} + x^{2} y) + 2 y' y$ .

$2 y' (- x^{3} + x^{2} y + y) = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 y' (- x^{3} + x^{2} y + y) = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$ на $2 (- x^{3} + x^{2} y + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 y' (- x^{3} + x^{2} y + y) = 2 x - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$ на $2 (- x^{3} + x^{2} y + y)$ .

$\frac{2 y' (- x^{3} + x^{2} y + y)}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} = \frac{2 x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 4 x^{3}}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- x^{3} + x^{2} y + y)}{- x^{3} + x^{2} y + y} = \frac{2 x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 4 x^{3}}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $- x^{3} + x^{2} y + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 4 x^{3}}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 4 x^{3}}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{- 4 x^{3}}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{- 2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{(2) x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{6 x^{2} y}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (- x^{3} + x^{2} y + y)}$

Этап 5.4.3.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{- y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{x}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{x - 2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{x^{1} - 2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y' = \frac{x \cdot 1 - 2 x^{3}}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x \cdot 1 + x (- 2 x^{2})}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 2 x^{2})$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2})}{- x^{3} + x^{2} y + y} + \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2}) + 3 x^{2} y}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x (1 - 2 x^{2}) + 3 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.4.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2}) + x (3 x y)}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x (1 - 2 x^{2}) + x (3 x y)$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y)}{- x^{3} + x^{2} y + y} - \frac{y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y) - y^{2} x}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.6

Вынесем множитель $x$ из $x (1 - 2 x^{2} + 3 x y) - y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y) + x (- y^{2})}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.6.2

Вынесем множитель $x$ из $x (1 - 2 x^{2} + 3 x y) + x (- y^{2})$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{- x^{3} + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{- (x^{3}) + x^{2} y + y}$

Этап 5.4.3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{- (x^{3}) - (- x^{2} y) + y}$

Этап 5.4.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (- x^{2} y)$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{- (x^{3} - x^{2} y) + y}$

Этап 5.4.3.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{- (x^{3} - x^{2} y) - 1 (- y)}$

Этап 5.4.3.2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} - x^{2} y) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{- (x^{3} - x^{2} y - y)}$

Этап 5.4.3.2.12

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.12.1

Перепишем $- (x^{3} - x^{2} y - y)$ в виде $- 1 (x^{3} - x^{2} y - y)$ .

$y' = \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{- 1 (x^{3} - x^{2} y - y)}$

Этап 5.4.3.2.12.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{x^{3} - x^{2} y - y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (1 - 2 x^{2} + 3 x y - y^{2})}{x^{3} - x^{2} y - y}$