Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{5}$

Этап 1

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + a$

Этап 1.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

Этап 1.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $1 + a$ и в $1$ .

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

Этап 5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0 + a}{1 + a}$

Этап 5.4.2

Добавим $0$ и $a$ .

$\frac{a}{1 + a}$