Математический анализ Примеры

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4$

Этап 2.1.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 - 4 x$ .

$u_{lower} = 3 - 4 t$

Этап 2.3

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 - 4 x$ .

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$u_{upper} = 3 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Этап 3.3

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

Этап 7

Объединим $\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ и $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

Этап 8

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $3$ и в $3 - 4 t$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

Этап 9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Этап 10

Поскольку функция $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ стремится к $- \infty$ , произведение отрицательной константы $- 1$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $- 1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Этап 10.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Этап 10.3

Когда $t$ стремится к $- \infty$ с любой стороны, $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Этап 10.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- \infty$ .

$\frac{- \infty}{4}$

Этап 10.5

Бесконечность, деленная на любое конечное ненулевое число, есть бесконечность.

$- \infty$

Этап 10.6

$\infty$