Математический анализ Примеры

$y = \csc (θ) (θ + \cot (θ))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \csc (θ)$ и $g (θ) = θ + \cot (θ)$ .

$\csc (θ) \frac{d}{d θ} [θ + \cot (θ)] + (θ + \cot (θ)) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $θ + \cot (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)]$ .

$\csc (θ) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)]) + (θ + \cot (θ)) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\csc (θ) (1 + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)]) + (θ + \cot (θ)) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 3

Производная $\cot (θ)$ по $θ$ равна $- \csc^{2} (θ)$ .

$\csc (θ) (1 - \csc^{2} (θ)) + (θ + \cot (θ)) \frac{d}{d θ} [\csc (θ)]$

Этап 4

Производная $\csc (θ)$ по $θ$ равна $- \csc (θ) \cot (θ)$ .

$\csc (θ) (1 - \csc^{2} (θ)) + (θ + \cot (θ)) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (θ) \cdot 1 + \csc (θ) (- \csc^{2} (θ)) + (θ + \cot (θ)) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (θ) \cdot 1 + \csc (θ) (- \csc^{2} (θ)) + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) + \cot (θ) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\csc (θ)$ на $1$ .

$\csc (θ) + \csc (θ) (- \csc^{2} (θ)) + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) + \cot (θ) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Этап 5.3.2

Возведем $\csc (θ)$ в степень $1$ .

$\csc (θ) - (\csc^{1} (θ) \csc^{2} (θ)) + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) + \cot (θ) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Этап 5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) - {\csc (θ)}^{1 + 2} + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) + \cot (θ) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Этап 5.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\csc (θ) - \csc^{3} (θ) + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) + \cot (θ) (- \csc (θ) \cot (θ))$

Этап 5.3.5

Возведем $\cot (θ)$ в степень $1$ .

$\csc (θ) - \csc^{3} (θ) + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) - \csc (θ) (\cot^{1} (θ) \cot (θ))$

Этап 5.3.6

Возведем $\cot (θ)$ в степень $1$ .

$\csc (θ) - \csc^{3} (θ) + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) - \csc (θ) (\cot^{1} (θ) \cot^{1} (θ))$

Этап 5.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) - \csc^{3} (θ) + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) - \csc (θ) {\cot (θ)}^{1 + 1}$

Этап 5.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (θ) - \csc^{3} (θ) + θ (- \csc (θ) \cot (θ)) - \csc (θ) \cot^{2} (θ)$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$- θ \cot (θ) \csc (θ) - \cot^{2} (θ) \csc (θ) + \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $\csc (θ)$ из $- θ \cot (θ) \csc (θ) - \cot^{2} (θ) \csc (θ) + \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $\csc (θ)$ из $- θ \cot (θ) \csc (θ)$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ)) - \cot^{2} (θ) \csc (θ) + \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $\csc (θ)$ из $- \cot^{2} (θ) \csc (θ)$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ)) + \csc (θ) (- \cot^{2} (θ)) + \csc (θ) - \csc^{3} (θ)$

Этап 5.5.3

Умножим на $1$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ)) + \csc (θ) (- \cot^{2} (θ)) + \csc (θ) \cdot 1 - \csc^{3} (θ)$

Этап 5.5.4

Вынесем множитель $\csc (θ)$ из $- \csc^{3} (θ)$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ)) + \csc (θ) (- \cot^{2} (θ)) + \csc (θ) \cdot 1 + \csc (θ) (- \csc^{2} (θ))$

Этап 5.5.5

Вынесем множитель $\csc (θ)$ из $\csc (θ) (- θ \cot (θ)) + \csc (θ) (- \cot^{2} (θ))$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ)) + \csc (θ) \cdot 1 + \csc (θ) (- \csc^{2} (θ))$

Этап 5.5.6

Вынесем множитель $\csc (θ)$ из $\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ)) + \csc (θ) \cdot 1$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ) + 1) + \csc (θ) (- \csc^{2} (θ))$

Этап 5.5.7

Вынесем множитель $\csc (θ)$ из $\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ) + 1) + \csc (θ) (- \csc^{2} (θ))$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ) + 1 - \csc^{2} (θ))$

Этап 5.6

Изменим порядок $1$ и $- \csc^{2} (θ)$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ) - \csc^{2} (θ) + 1)$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (θ)$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ) - (\csc^{2} (θ)) + 1)$

Этап 5.8

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ) - \csc^{2} (θ) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (θ) - 1 \cdot - 1$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ) - (\csc^{2} (θ) - 1))$

Этап 5.10

Применим формулу Пифагора.

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - \cot^{2} (θ) - \cot^{2} (θ))$

Этап 5.11

Вычтем $\cot^{2} (θ)$ из $- \cot^{2} (θ)$ .

$\csc (θ) (- θ \cot (θ) - 2 \cot^{2} (θ))$

Этап 5.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (θ) (- θ \cot (θ)) + \csc (θ) (- 2 \cot^{2} (θ))$

Этап 5.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \csc (θ) θ \cot (θ) + \csc (θ) (- 2 \cot^{2} (θ))$

Этап 5.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \csc (θ) θ \cot (θ) - 2 \csc (θ) \cot^{2} (θ)$

Этап 5.15

Изменим порядок множителей в $- \csc (θ) θ \cot (θ) - 2 \csc (θ) \cot^{2} (θ)$ .

$- θ \csc (θ) \cot (θ) - 2 \csc (θ) \cot^{2} (θ)$