Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{5} (x^{2} + 2 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{2}^{5} x^{2} + 2 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} 2 x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 x d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $5$ и в $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $125$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{125}{3} - \frac{8}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{125 - 8}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8

Вычтем $8$ из $125$ .

$\frac{117}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9

Сократим общий множитель $117$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $117$ .

$\frac{3 \cdot 39}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 39}{3 (1)} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{39}{1} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9.2.4

Разделим $39$ на $1$ .

$39 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10

Возведем $5$ в степень $2$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2})$

Этап 6.2.3.12

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 6.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 6.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$39 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1})$

Этап 6.2.3.12.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2)$

Этап 6.2.3.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - 2)$

Этап 6.2.3.14

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.2.3.15

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$39 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

Этап 6.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$39 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.17.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$39 + 2 \frac{25 - 4}{2}$

Этап 6.2.3.17.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$39 + 2 (\frac{21}{2})$

Этап 6.2.3.18

Объединим $2$ и $\frac{21}{2}$ .

$39 + \frac{2 \cdot 21}{2}$

Этап 6.2.3.19

Умножим $2$ на $21$ .

$39 + \frac{42}{2}$

Этап 6.2.3.20

Сократим общий множитель $42$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$39 + \frac{2 \cdot 21}{2}$

Этап 6.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$39 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)}$

Этап 6.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$39 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$39 + \frac{21}{1}$

Этап 6.2.3.20.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$39 + 21$

Этап 6.2.3.21

Добавим $39$ и $21$ .

$60$

Этап 7