Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} (x^{2} + \frac{1}{9}) (x - \frac{1}{3})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + \frac{1}{9} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{3}$ .

$(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Этап 4

Найдем предел $\frac{1}{9}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{3})$

Этап 6

Найдем предел $\frac{1}{3}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{1}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{3}$ для $x$ .

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{3}$ для $x$ .

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$(1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$(\frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(\frac{1}{9} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 1 - 1}{3}$

Этап 8.5

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

Этап 8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{2}{3})$

Этап 8.7

Умножим $\frac{2}{9} (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим $\frac{2}{9}$ на $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Этап 8.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 3}$

Этап 8.7.3

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{4}{27}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4}{27}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{148}$