Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{4 x^{2} - 9}{2 x + 3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x^{2} - 9}{lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x + 3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 9}{lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x + 3}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 9}{lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x + 3}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 9}{lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x + 3}$

Этап 5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x + 3}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 3}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{2 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 3}$

Этап 8

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{2 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 3}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{3}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $x$ .

$\frac{4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 1 \cdot 9}{2 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 3}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $x$ .

$\frac{4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 1 \cdot 9}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 9}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{4 \frac{9}{2^{2}} - 1 \cdot 9}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 (\frac{9}{4}) - 1 \cdot 9}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (\frac{9}{4}) - 1 \cdot 9}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10.1.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{9 - 9}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10.1.6

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{2 (\frac{3}{2}) + 3}$

Этап 10.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{3 + 3}$

Этап 10.2.2

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{0}{6}$

Этап 10.3

Разделим $0$ на $6$ .

$0$