Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{2} \sqrt{2 - x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - x}$ в виде ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8.3

Перенесем ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 9

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$2 (\frac{x^{2} \cdot - 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$2 (\frac{- 1 \cdot x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14.3.2

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$2 (\frac{- x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Этап 16

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перенесем $2$ влево от ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} x)$

Этап 16.2

Перенесем ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 17

Чтобы записать $2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 18

Объединим $2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{- x^{2} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Умножим ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Перенесем ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x ({(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.5

Разделим $2$ на $2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{1}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Упростим $4 x {(- x + 2)}^{1}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23

Объединим $2$ и $\frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x (- x + 2))}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x (- x + 2))}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 4 x (- x) + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 x \cdot x + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 x^{2} + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.2.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.2.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.2.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.3

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{2}$ .

$\frac{x (- 5 x) + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.3.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$\frac{x (- 5 x) + x \cdot 8}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 5 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- 5 x + 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x$ .

$\frac{x (- (5 x) + 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.5

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (5 x) - 1 (- 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (5 x - 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.7

Перепишем $- (5 x - 8)$ в виде $- 1 (5 x - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (5 x - 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (5 x - 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$