Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Этап 1

Вынесем член $- 4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Этап 4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Этап 6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

Этап 9

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{3}$ для $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{3}$ для $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Этап 11.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Этап 11.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

Этап 11.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

Этап 11.2.3

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

Этап 11.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

Этап 11.2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Этап 11.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Этап 11.2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Этап 11.2.6.3

Сократим общий множитель.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Этап 11.2.6.4

Перепишем это выражение.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

Этап 11.2.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

Этап 11.2.8

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

Этап 11.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

Этап 11.4

Умножим $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

Этап 11.5

Умножим $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

Этап 11.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

Этап 11.7

Упростим.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

Этап 11.8

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

Этап 11.8.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Этап 11.9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Этап 11.9.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Этап 11.9.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Этап 11.9.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.42264973 \dots$