Математический анализ Примеры

$\int \frac{w^{3} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3} + w^{2} + w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $w$ из $w^{2}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w}{w^{3}} d w$

Этап 1.1.3

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w^{1}}{w^{3}} d w$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $w$ из $w^{1}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $w$ из $w \cdot w^{2} + w \cdot w$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w) + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

Этап 1.1.6

Вынесем множитель $w$ из $w (w^{2} + w) + w \cdot 1$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w^{3}} d w$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3}$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{w^{2} + w + 1}{w^{2}} d w$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $w^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (w^{2} + w + 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(w^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (w^{2} + w + 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (w^{2} + w + 1) w^{- 2} d w$

Этап 3

Развернем $(w^{2} + w + 1) w^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (w^{2} + w) w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int w^{2} w^{- 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int w^{2 - 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int w^{0} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 1 + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.6

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\int 1 + w^{1} w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 + w^{1 - 2} + 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.8

Вычтем $2$ из $1$ .

$\int 1 + w^{- 1} + 1 w^{- 2} d w$

Этап 3.9

Умножим $w^{- 2}$ на $1$ .

$\int 1 + w^{- 1} + w^{- 2} d w$

Этап 3.10

Изменим порядок $1$ и $w^{- 1}$ .

$\int w^{- 1} + 1 + w^{- 2} d w$

Этап 3.11

Перенесем $1$ .

$\int w^{- 1} + w^{- 2} + 1 d w$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int w^{- 1} d w + \int w^{- 2} d w + \int d w$

Этап 5

Интеграл $w^{- 1}$ по $w$ имеет вид $\ln (| w |)$ .

$\ln (| w |) + C + \int w^{- 2} d w + \int d w$

Этап 6

По правилу степени интеграл $w^{- 2}$ по $w$ имеет вид $- w^{- 1}$ .

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + \int d w$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + w + C$

Этап 8

Упростим.

$\ln (| w |) - \frac{1}{w} + w + C$