Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (x^{e} + e^{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} x^{e} + e^{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x^{e} d x + \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{e}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Этап 4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1} + e^{x}]_{0}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1}$ и $e^{x}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1} + e^{x}]_{0}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1} + e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{e + 1} \cdot 1^{e + 1} + e^{1}) - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{e + 1} \cdot 1 + e^{1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{1}{e + 1}$ на $1$ .

$\frac{1}{e + 1} + e^{1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Этап 5.2.2.3

Упростим.

$\frac{1}{e + 1} + e - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Этап 5.2.2.4

Чтобы записать $e$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e + 1}{e + 1}$ .

$\frac{1}{e + 1} + \frac{e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Этап 5.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Этап 5.2.2.6

Объединим $\frac{1}{e + 1}$ и $0^{e + 1}$ .

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + e^{0})$

Этап 5.2.2.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + 1)$

Этап 5.2.2.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + \frac{e + 1}{e + 1})$

Этап 5.2.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - \frac{0^{e + 1} + e + 1}{e + 1}$

Этап 5.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + e (e + 1) - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + e e + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Этап 6.2

Умножим $e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{1 + e^{1} e + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Этап 6.2.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{1 + e^{1} e^{1} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Этап 6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + e^{1 + 1} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Этап 6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Этап 6.3

Умножим $e$ на $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e - 1 \cdot 1}{e + 1}$

Этап 6.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e - 1}{e + 1}$

Этап 6.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e}{e + 1}$

Этап 6.7

Добавим $0$ и $e^{2}$ .

$\frac{e^{2} + e - 0^{e + 1} - e}{e + 1}$

Этап 6.8

Вычтем $e$ из $e$ .

$\frac{e^{2} + 0 - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Этап 6.9

Добавим $e^{2}$ и $0$ .

$\frac{e^{2} - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{e^{2} - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Десятичная форма:

$1.98722324 \dots$

Этап 8