Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 2 \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.3

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.4

Перепишем $4 \sec^{2} (t)$ в виде ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2 \sec (t)$ из ${(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2 \sec (t)$ из $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 \tan (t))}^{2}} d t$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Этап 2.2.3.2

Применим правило умножения к $2 (\tan (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{2^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sec (x)$ в виде $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 4.2

Применим обратное тождество.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 4.3.2

Объединим.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 4.3.3

Умножим $\csc (t)$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 4.3.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 4.3.5

Объединим $\cot (t)$ и $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 4.3.6

Сократим выражение $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 4.3.6.2

Вынесем множитель $\cot (t)$ из ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Этап 4.3.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Этап 4.3.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Этап 4.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Этап 5

Поскольку производная $- \csc (t)$ равна $\csc (t) \cot (t)$ , интеграл $\csc (t) \cot (t)$ равен $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (\arctan (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{x}{2})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{x}{2})$ . Следовательно, $\csc (\arctan (\frac{x}{2}))$ равно $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Этап 8.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.3

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.7

Перепишем $\frac{4 + x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $4 + x^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.7.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.7.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Этап 8.1.10

Объединим.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Этап 8.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.11.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Этап 8.1.11.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Этап 8.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Этап 8.3

Объединим.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Этап 8.4

Умножим $\sqrt{4 + x^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Этап 8.5

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{4 x} + C$