Математический анализ Примеры

$y = (4 x^{2} - \frac{1}{2} x) (9 x + 8)$

Этап 1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 x + 8)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{2} - \frac{x}{2}$ и $g (x) = 9 x + 8$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [9 x + 8] + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $9 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Этап 3.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Этап 3.4

Умножим $9$ на $1$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Этап 3.5

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 + 0) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $9$ и $0$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) \cdot 9 + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Этап 3.6.2

Перенесем $9$ влево от $4 x^{2} - \frac{x}{2}$ .

$9 \cdot (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $4 x^{2} - \frac{x}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Этап 3.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $4$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Этап 3.11

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 3.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x) + (9 x + 8) (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + (9 x + 8) (- \frac{1}{2})$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $4$ на $9$ .

$36 x^{2} + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$36 x^{2} - 9 \frac{x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.3

Объединим $- 9$ и $\frac{x}{2}$ .

$36 x^{2} + \frac{- 9 x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.5

Умножим $8$ на $9$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x \cdot x + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 (x^{1} x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 (x^{1} x^{1}) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{1 + 1} + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.10

Умножим $8$ на $8$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.11

Умножим $- 1$ на $9$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - 9 x \frac{1}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.12

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + x \frac{- 9}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.13

Объединим $x$ и $\frac{- 9}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + \frac{x \cdot - 9}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.14

Перенесем $- 9$ влево от $x$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + \frac{- 9 \cdot x}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.5.16

Умножим $- 1$ на $8$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Этап 4.5.17

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{- 8}{2}$

Этап 4.5.18

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.18.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2}$

Этап 4.5.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Этап 4.5.18.2.2

Сократим общий множитель.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.18.2.3

Перепишем это выражение.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{- 4}{1}$

Этап 4.5.18.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} - 4$

Этап 4.5.19

Чтобы записать $64 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 x}{2} - 4$

Этап 4.5.20

Объединим $64 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{64 x \cdot 2}{2} - \frac{9 x}{2} - 4$

Этап 4.5.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{64 x \cdot 2 - 9 x}{2} - 4$

Этап 4.5.22

Умножим $2$ на $64$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{128 x - 9 x}{2} - 4$

Этап 4.5.23

Вычтем $9 x$ из $128 x$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{119 x}{2} - 4$

Этап 4.5.24

Добавим $36 x^{2}$ и $72 x^{2}$ .

$108 x^{2} - \frac{9 x}{2} + \frac{119 x}{2} - 4$

Этап 4.5.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$108 x^{2} + \frac{- 9 x + 119 x}{2} - 4$

Этап 4.5.26

Добавим $- 9 x$ и $119 x$ .

$108 x^{2} + \frac{110 x}{2} - 4$

Этап 4.5.27

Сократим общий множитель $110$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.27.1

Вынесем множитель $2$ из $110 x$ .

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2} - 4$

Этап 4.5.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2 (1)} - 4$

Этап 4.5.27.2.2

Сократим общий множитель.

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2 \cdot 1} - 4$

Этап 4.5.27.2.3

Перепишем это выражение.

$108 x^{2} + \frac{55 x}{1} - 4$

Этап 4.5.27.2.4

Разделим $55 x$ на $1$ .

$108 x^{2} + 55 x - 4$