Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + 4 \sin (- 2 x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Этап 2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Этап 4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Этап 5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (- 2 x)$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x)$

Этап 7

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{6}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{6}$ для $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{6}$ для $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$4 \tan (\frac{11 π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Этап 9.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$4 (- \tan (\frac{π}{6})) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Этап 9.1.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Этап 9.1.4

Умножим $4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Этап 9.1.4.2

Объединим $- 4$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Этап 9.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Этап 9.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 (- 1) \frac{π}{6})$

Этап 9.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 9.1.6.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 9.1.6.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- \frac{π}{3})$

Этап 9.1.7

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 9.1.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 9.1.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 9.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.1.10.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.1.10.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.1.10.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (- \sqrt{3})$

Этап 9.1.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Этап 9.2

Чтобы записать $- 2 \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.3

Объединим $- 2 \sqrt{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.5.2

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$- 5.77350269 \dots$