Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{7} 3 \sqrt{x + 9} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{7} \sqrt{x + 9} d x$

Этап 2

Пусть $u = x + 9$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x + 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 2.1.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 9$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $9$ .

$u_{lower} = 9$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 9$ .

$u_{upper} = 7 + 9$

Этап 2.5

Добавим $7$ и $9$ .

$u_{upper} = 16$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3 \int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16})$

Этап 5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{9}^{16})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $16$ и в $9$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.5

Умножим $2$ на $64$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 6.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 6.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 6.2.8.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3})$

Этап 6.2.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 27}{3})$

Этап 6.2.10

Умножим $2$ на $27$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{54}{3})$

Этап 6.2.11

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3})$

Этап 6.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3 (1)})$

Этап 6.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1})$

Этап 6.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{18}{1})$

Этап 6.2.11.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$3 (\frac{128}{3} - 1 \cdot 18)$

Этап 6.2.12

Умножим $- 1$ на $18$ .

$3 (\frac{128}{3} - 18)$

Этап 6.2.13

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 6.2.14

Объединим $- 18$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3})$

Этап 6.2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Этап 6.2.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Умножим $- 18$ на $3$ .

$3 \frac{128 - 54}{3}$

Этап 6.2.16.2

Вычтем $54$ из $128$ .

$3 (\frac{74}{3})$

Этап 6.2.17

Объединим $3$ и $\frac{74}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 74}{3}$

Этап 6.2.18

Умножим $3$ на $74$ .

$\frac{222}{3}$

Этап 6.2.19

Сократим общий множитель $222$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.19.1

Вынесем множитель $3$ из $222$ .

$\frac{3 \cdot 74}{3}$

Этап 6.2.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.19.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 74}{3 (1)}$

Этап 6.2.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 74}{3 \cdot 1}$

Этап 6.2.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{74}{1}$

Этап 6.2.19.2.4

Разделим $74$ на $1$ .

$74$

Этап 7