Математический анализ Примеры

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 x - 3$ и $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - \frac{3}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2.6

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $5 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.12

Умножим $5$ на $1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.13

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

Этап 2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Добавим $5$ и $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

Этап 2.14.2

Перенесем $5$ влево от $4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Этап 3.3.2

Умножим $4$ на $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

Этап 3.3.4

Объединим $- 5$ и $\frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

Этап 3.3.5

Умножим $- 5$ на $3$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

Этап 3.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

Этап 3.3.7

Чтобы записать $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

Этап 3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Этап 3.3.9

Чтобы записать $20 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Этап 3.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Этап 3.3.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Этап 3.3.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Этап 3.3.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Этап 3.3.14

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Этап 3.5.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Этап 3.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Этап 3.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Этап 3.5.4

Развернем $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Этап 3.5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Этап 3.5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.3

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.6

Умножим $5 \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.6.1

Объединим $5$ и $\frac{3}{x}$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.6.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.7

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Этап 3.5.5.8

Умножим $\frac{3}{x} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.8.1

Объединим $\frac{3}{x}$ и $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

Этап 3.5.5.8.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

Этап 3.5.5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Этап 3.5.6

Добавим $20 x^{2}$ и $20 x^{2}$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Этап 3.5.7

Вычтем $15$ из $15$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

Этап 3.5.8

Добавим $40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ и $0$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

Этап 3.5.9

Чтобы записать $40 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

Этап 3.5.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.11.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.12

Чтобы записать $- 12 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.13

Объединим $- 12 x$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.15.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.15.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.15.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Этап 3.5.15.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

Этап 3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 3.7

Умножим $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

Этап 3.7.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

Этап 3.7.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

Этап 3.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

Этап 3.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$