Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило умножения к $3 i$ .

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.3

Применим правило умножения к $3 i$ .

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перенесем $3^{2}$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.6

Умножим $- 2$ на $27$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.8

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.9

Умножим $4$ на $9$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

Этап 1.2.10

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Этап 1.3

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

Этап 3

Найдем значение $27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $3$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $7$ и $1$ .

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

Этап 3.3.1.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $49$ на $64$ .

$27 (\frac{3136}{4})$

Этап 3.3.2.2

Разделим $3136$ на $4$ .

$27 \cdot 784$

Этап 3.3.2.3

Умножим $27$ на $784$ .

$21168$

Этап 4

Найдем значение $54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $7$ и $1$ .

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $7$ на $8$ .

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $14$ и $1$ .

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Этап 4.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $56$ на $15$ .

$- 54 (\frac{840}{6})$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $- 54$ .

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 9 \cdot 840$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 9$ на $840$ .

$- 7560$

Этап 5

Найдем значение $36 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 5.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Добавим $7$ и $1$ .

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $7$ на $8$ .

$36 (\frac{56}{2})$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$2 (18) \frac{56}{2}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$18 \cdot 56$

Этап 5.3.3

Умножим $18$ на $56$ .

$1008$

Этап 6

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{7} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 6.2

Подставим значения в формулу.

$(- 8) (7)$

Этап 6.3

Умножим $- 8$ на $7$ .

$- 56$

Этап 7

Сложим результаты суммирования.

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $7560$ из $21168$ .

$13608 + 1008 - 56$

Этап 8.2

Добавим $13608$ и $1008$ .

$14616 - 56$

Этап 8.3

Вычтем $56$ из $14616$ .

$14560$