Математический анализ Примеры

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

Этап 1

Перепишем $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше 0 и не равны 1, а $x$ больше 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Этап 1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{\ln (a)}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ по $x$ равна $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ .

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x^{3} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Этап 3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ на $\frac{1}{\ln (a)}$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 4.6

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

Этап 4.7.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ .

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

Этап 4.7.3

Объединим $\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ и $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $\ln (a)$ из $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $\ln (a)$ из $2 x^{3} \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $\ln (a)$ из $7 \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $\ln (a)$ из $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$