Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} (x^{2} + 2 x - 4) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x - 4 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + - 4 x]_{1}^{3}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ и $- 4 x]_{1}^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x]_{1}^{3}$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x]_{1}^{3}$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ в $3$ и в $1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{9 - 1}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.4

Вычтем $1$ из $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.5

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{4}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.5.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$2 \cdot 4 + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.6

Умножим $2$ на $4$ .

$8 + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$8 + \frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$8 + \frac{27}{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.9

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$8 + \frac{9}{1} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.9.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$8 + 9 - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.10

Умножим $- 4$ на $3$ .

$8 + 9 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.11

Вычтем $12$ из $9$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.12

Единица в любой степени равна единице.

$8 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.13

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4 \cdot 1)$

Этап 8.2.3.14

Умножим $- 4$ на $1$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4)$

Этап 8.2.3.15

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.16

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

Этап 8.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 - 3 - \frac{1 - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 8.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.18.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$8 - 3 - \frac{1 - 12}{3}$

Этап 8.2.3.18.2

Вычтем $12$ из $1$ .

$8 - 3 - \frac{- 11}{3}$

Этап 8.2.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 - 3 - - \frac{11}{3}$

Этап 8.2.3.20

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 - 3 + 1 (\frac{11}{3})$

Этап 8.2.3.21

Умножим $\frac{11}{3}$ на $1$ .

$8 - 3 + \frac{11}{3}$

Этап 8.2.3.22

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{11}{3}$

Этап 8.2.3.23

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$8 + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{11}{3}$

Этап 8.2.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 + \frac{- 3 \cdot 3 + 11}{3}$

Этап 8.2.3.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.25.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$8 + \frac{- 9 + 11}{3}$

Этап 8.2.3.25.2

Добавим $- 9$ и $11$ .

$8 + \frac{2}{3}$

Этап 8.2.3.26

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 8.2.3.27

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 8.2.3.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Этап 8.2.3.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.29.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{24 + 2}{3}$

Этап 8.2.3.29.2

Добавим $24$ и $2$ .

$\frac{26}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{26}{3}$

Десятичная форма:

$8.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$8 \frac{2}{3}$

Этап 10