Математический анализ Примеры

$\int \frac{5 x^{3} + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{3} + 3 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{3}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x^{1}}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} d x$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{5 x^{2} + 3 x + 1}{x} d x$

Этап 2

Разделим $5 x^{2} + 3 x + 1$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$5 x$
	$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$5 x^{2}$	+	$0$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{2} + 0$ .

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$

Этап 2.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

Этап 2.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

Этап 2.8

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					+	$3 x$	+	$0$

Этап 2.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x + 0$ .

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$

Этап 2.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$
							+	$1$

Этап 2.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 5 x + 3 + \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \ln (| x |) + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$

Этап 9.2

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{2} x^{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$