Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 + \sqrt{x} + x}{x} d x$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Этап 3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x + \int d x$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Этап 5.2.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Этап 5.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Этап 5.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Этап 5.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x + \int d x$

Этап 5.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int d x$

Этап 5.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| x |) + C + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int d x$

Этап 5.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int d x$

Этап 5.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int d x$

Этап 5.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| x |) + C + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| x |) + C + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + x + C$

Этап 8

Упростим.

$\ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + x + C$