Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.5.3

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.5.4

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{1 - \tan (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sin (x) - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}$

Этап 1.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $1 - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 1.3.7.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{0 - \sec^{2} (x)}$

Этап 1.3.8

Вычтем $\sec^{2} (x)$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sec^{2} (x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x)}$

Этап 2.6

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2}}$

Этап 2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.1.4

Перепишем $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.1.4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Сократим выражение $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.1.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{1}}{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.1.4.2.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}$

Этап 4.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.2.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{- 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{- 2^{1}}$

Этап 4.2.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{- 1 \cdot 2}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{- 2}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.70710678 \dots$