Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x^{2} - x - 2}{3 x^{2}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{2} - x - 2}{3 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - x - 2}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - x - 2}{x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{2} - x - 2$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 2] - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 2] - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 2] - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1 + 0) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.10

Добавим $6 x - 1$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 3.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2) x}{x^{4}}$

Этап 3.12.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (6 x - 1)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1)) - 2 (3 x^{2} - x - 2) x}{x^{4}}$

Этап 3.12.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (3 x^{2} - x - 2) x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1)) + x (- 2 (3 x^{2} - x - 2))}{x^{4}}$

Этап 3.12.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (6 x - 1)) + x (- 2 (3 x^{2} - x - 2))$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2))}{x^{4}}$

Этап 4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2)}{x^{3}}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2)}{x^{3}}$ .

$\frac{x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2)}{3 x^{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (6 x) + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2} - x - 2)}{3 x^{3}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (6 x) + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{6 x^{2} - x - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.1.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - x - 6 x^{2} - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - x - 6 x^{2} + 2 x - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.1.7

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - x - 6 x^{2} + 2 x + 4}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.2

Объединим противоположные члены в $6 x^{2} - x - 6 x^{2} + 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $6 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{- x + 0 + 2 x + 4}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.2.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{- x + 2 x + 4}{3 x^{3}}$

Этап 6.3.3

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$\frac{x + 4}{3 x^{3}}$