Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} (1 - | x |) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{1} 1 - | x | d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} - | x | d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - | x | d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} | x | d x$

Этап 5

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x$ принимает положительные и отрицательные значения.

$x]_{- 1}^{1} - (\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{1} x d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{- 1}^{1} - (- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{1} x d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $x$ в $1$ и в $- 1$ .

$(1) + 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(1) + 1 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$(1) + 1 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 - (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 - (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 - (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 - (- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 - (- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.5

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$2 - (- - \frac{1}{2} + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 - (1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.8

Единица в любой степени равна единице.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 10.2.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 10.2.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 10.2.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 10.2.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 10.2.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 10.2.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0)$

Этап 10.2.4.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0)$

Этап 10.2.4.12

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 10.2.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 - \frac{1 + 1}{2}$

Этап 10.2.4.14

Добавим $1$ и $1$ .

$2 - \frac{2}{2}$

Этап 10.2.4.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.15.1

Сократим общий множитель.

$2 - \frac{2}{2}$

Этап 10.2.4.15.2

Перепишем это выражение.

$2 - 1 \cdot 1$

Этап 10.2.4.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1$

Этап 10.2.4.17

Вычтем $1$ из $2$ .

$1$

Этап 11