Математический анализ Примеры

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{v}$ в виде $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v}]$

Этап 2

Умножим $v$ на $v^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v}]$

Этап 2.2

Умножим $v^{\frac{1}{2}}$ на $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $v$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v}]$

Этап 2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v}]$

Этап 2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v}]$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v}]$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

Этап 3

Вынесем множитель $v^{\frac{3}{2}}$ из $v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $v^{\frac{3}{2}}$ из $v^{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

Этап 3.2

Вынесем множитель $v^{\frac{3}{2}}$ из $- 2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{v}]$

Этап 3.3

Вынесем множитель $v^{\frac{3}{2}}$ из $v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)}{v}]$

Этап 4

Перенесем $v^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2) v^{- 1}]$

Этап 5

Умножим $v^{\frac{3}{2}}$ на $v^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $v^{- 1}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{- 1} v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Этап 5.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Этап 5.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Этап 5.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ имеет вид $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ , где $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ и $g (v) = v^{\frac{3}{2}} - 2$ .

$v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} - 2] + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

По правилу суммы производная $v^{\frac{3}{2}} - 2$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 12

Объединим $\frac{3}{2}$ и $v^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 13

Поскольку $- 2$ является константой относительно $v$ , производная $- 2$ относительно $v$ равна $0$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + 0) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $0$ .

$v^{\frac{1}{2}} \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 14.2

Объединим $v^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (3 v^{\frac{1}{2}})}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 15

Умножим $v^{\frac{1}{2}}$ на $v^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перенесем $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 15.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{v^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 15.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{v^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 15.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{v^{\frac{2}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 15.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{v^{1} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим $v^{1} \cdot 3$ .

$\frac{v \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 16.2

Перенесем $3$ влево от $v$ .

$\frac{3 \cdot v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 18

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 19

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 21.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}})$

Этап 23

Объединим $\frac{1}{2}$ и $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 24

Перенесем $v^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25

Чтобы записать $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 26

Объединим $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + \frac{(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

Этап 27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

Этап 28

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 29

Сократим общий множитель.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 30

Перепишем это выражение.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 v + v^{\frac{3}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.2.1.1

Сократим общий множитель $v^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.2.1.1.1

Вынесем множитель $v^{\frac{1}{2}}$ из $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 v + v^{\frac{2}{2}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.2.1.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 v + v^{1} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.2.1.3

Упростим.

$\frac{3 v + v - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.2.1.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 v + v + \frac{- 2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 v + v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.2.2

Добавим $3 v$ и $v$ .

$\frac{4 v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 v$ .

$\frac{2 (2 v) - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 31.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

Этап 31.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

Этап 31.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)}$

Этап 31.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1}$

Этап 31.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 31.3.4.4

Разделим $2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$