Математический анализ Примеры

$\int x^{2} (1 - x^{3}) d x$

Этап 1

Развернем $x^{2} (1 - x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x^{3}) d x$

Этап 1.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\int 1 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{3}) d x$

Этап 1.3

Изменим порядок $x^{2}$ и $- 1$ .

$\int 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{3} d x$

Этап 1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\int x^{2} - 1 x^{2} x^{3} d x$

Этап 1.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int x^{2} - (x^{2} x^{3}) d x$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2} - x^{2 + 3} d x$

Этап 1.7

Добавим $2$ и $3$ .

$\int x^{2} - x^{5} d x$

Этап 1.8

Изменим порядок $x^{2}$ и $- x^{5}$ .

$\int - x^{5} + x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - x^{5} d x + \int x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int x^{5} d x + \int x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 6.2

Упростим.

$- \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{3} x^{3} + C$