Математический анализ Примеры

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Этап 1

Пусть $y = f (θ)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

Этап 2

Перепишем $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ в виде $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.2

По правилу суммы производная $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = \ln (θ)$ и $g (θ) = \sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\sec (θ)$ по $θ$ равна $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.3.3

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.3.5

Умножим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Этап 3.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.2.4.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.2.4.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.2.4.2

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

Этап 3.2.4.3

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

Этап 3.2.4.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

Этап 3.2.4.5

Переведем $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ в $\cot (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

Этап 3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Изменим порядок $\cos (θ)$ и $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2.1.2

Выразим $\cos (θ) \sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2.1.3

Сократим общие множители.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2.2

Умножим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2.3

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2.4

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Этап 3.2.5.2.7

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 3.2.5.2.8

Объединим.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.2.5.2.9

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ и $\cos^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.9.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $1 \cos (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.2.5.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.9.2.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Этап 3.2.5.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Этап 3.2.5.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.2.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Переведем $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ в $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.2.5.3.2

Разделим дроби.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Этап 3.2.5.3.3

Переведем $\frac{1}{\cos (θ)}$ в $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Этап 3.2.5.3.4

Переведем $\frac{1}{\sin (θ)}$ в $\csc (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Этап 5.2

Умножим $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Этап 5.2.2

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Этап 5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Этап 5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Этап 5.3

Умножим $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

Этап 5.3.2

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

Этап 5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

Этап 5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$