Математический анализ Примеры

$\int \sin^{2} (x) d x$

Этап 1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) \sin (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - \int - \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Этап 5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + 1 \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 9

Умножим $\int \cos^{2} (x) d x$ на $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 10

Умножим на $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \int \cos^{2} (x) \cdot 1 d x$

Этап 11

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos^{2} (x)$ и $d v = 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x - \int x (- 2 \cos (x) \sin (x)) d x$

Этап 12

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x - (- 2 \int x (\cos (x) \sin (x)) d x)$

Этап 13

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x + 2 \int x (\cos (x) \sin (x)) d x$

Этап 14

Найдя решение для $\int \sin^{2} (x) d x$ , получим $\int \sin^{2} (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1}$ .

$\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1} + C$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$

Этап 15.1.2

Перепишем $- 1 (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x)$ в виде $- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x)$ .

$- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$

Этап 15.2

Перепишем $- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$ в виде $- (- \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) x) + C$ .

$- (- \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) x) + C$