Математический анализ Примеры

$\int (8 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 3) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 8 x^{5} - 5 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 x^{5} d x + \int - 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 3

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int x^{5} d x + \int - 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 5

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int - 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int - 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 9

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 11

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$8 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Этап 14.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$8 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Этап 14.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Этап 14.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Этап 14.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

Этап 14.2

Упростим.

$\frac{4 x^{6}}{3} - x^{5} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 3 x + C$

Этап 14.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{3} x^{6} - x^{5} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 3 x + C$