Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{2}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 2.1.2

Когда $x$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 2.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Применим правило умножения к $5 (x)$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $5^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.13

Объединим $5^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $5^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{5}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Этап 2.6

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ на $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{\sqrt{5}}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

Этап 5.3

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{5}$ на $0$ .

$0$