Математический анализ Примеры

$\int_{3}^{6} (x^{2} - 2 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{3}^{6} x^{2} - 2 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{3}^{6} x^{2} d x + \int_{3}^{6} - 2 x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{6} + \int_{3}^{6} - 2 x d x$

Этап 4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{6} - 2 \int_{3}^{6} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{6} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{6} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $6$ и в $3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $6$ и в $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $216$ .

$\frac{216}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{72}{1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$72 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$72 - \frac{1}{3} \cdot 27 - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5

Умножим $27$ на $- 1$ .

$72 - 27 (\frac{1}{3}) - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6

Объединим $- 27$ и $\frac{1}{3}$ .

$72 + \frac{- 27}{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$72 + \frac{3 \cdot - 9}{3} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$72 + \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$72 + \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$72 + \frac{- 9}{1} - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$72 - 9 - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8

Вычтем $9$ из $72$ .

$63 - 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9

Возведем $6$ в степень $2$ .

$63 - 2 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$63 - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$63 - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$63 - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$63 - 2 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$63 - 2 (18 - \frac{3^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$63 - 2 (18 - \frac{9}{2})$

Этап 6.2.3.12

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$63 - 2 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})$

Этап 6.2.3.13

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$63 - 2 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})$

Этап 6.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$63 - 2 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2}$

Этап 6.2.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.15.1

Умножим $18$ на $2$ .

$63 - 2 \frac{36 - 9}{2}$

Этап 6.2.3.15.2

Вычтем $9$ из $36$ .

$63 - 2 (\frac{27}{2})$

Этап 6.2.3.16

Объединим $- 2$ и $\frac{27}{2}$ .

$63 + \frac{- 2 \cdot 27}{2}$

Этап 6.2.3.17

Умножим $- 2$ на $27$ .

$63 + \frac{- 54}{2}$

Этап 6.2.3.18

Сократим общий множитель $- 54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $- 54$ .

$63 + \frac{2 \cdot - 27}{2}$

Этап 6.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$63 + \frac{2 \cdot - 27}{2 (1)}$

Этап 6.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$63 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$63 + \frac{- 27}{1}$

Этап 6.2.3.18.2.4

Разделим $- 27$ на $1$ .

$63 - 27$

Этап 6.2.3.19

Вычтем $27$ из $63$ .

$36$

Этап 7