Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}}$ в $t$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

Этап 4.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Этап 5.2

Поскольку функция $t^{\frac{1}{2}}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Этап 5.2.2

Перепишем $t^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

Этап 5.2.3

Когда $t$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

Этап 5.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\infty - 1 \cdot 2$

Этап 5.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\infty - 2$

Этап 5.3.2.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\infty$