Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{\sqrt{x}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Этап 13

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{x}}{2}}{x}$

Этап 14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) + e^{x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Этап 15.2.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) + e^{x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Этап 15.2.3

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2.5.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2.5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2.5.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.2.5.3

Упростим $2 x^{1}$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.3

Объединим $e^{x}$ и $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 15.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 15.5

Объединим.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 15.6

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 15.6.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 15.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 15.6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 15.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 15.6.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 15.7

Умножим $e^{x} (2 x - 1)$ на $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$