Математический анализ Примеры

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x) + \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 5.2

Развернем $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.2

Умножим $2 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (2 x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.3

Умножим $2 \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 5.3.1.4

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $- \sin (x)$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 5.3.1.5

Добавим круглые скобки.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Этап 5.3.1.6

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Этап 5.3.1.7

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Этап 5.3.2

Вычтем $\sin (2 x)$ из $\sin (2 x)$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Этап 5.3.3

Вычтем $2 \sin^{2} (x)$ из $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$