Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

Этап 1

Проверим непрерывность $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 2]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{4 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 x = 0$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 1.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 1.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 2.1.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 2.1.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 2.1.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 2.1.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.1.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Этап 2.1.1.3.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Этап 2.1.1.3.5

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Этап 2.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[1, 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 2]$ , найдем область определения $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{4 x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.1.2.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.2.1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.2.1.2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 2]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на $[1, 2]$ , поскольку производная является непрерывной на $[1, 2]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[1, 2]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[1, 2]$ .

Этап 4

Найдем производную $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 4.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 4.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 4.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Этап 4.3.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Этап 4.3.5

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

Этап 6

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

Этап 6.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 6.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

Этап 6.3

Умножим $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.4.1.3

Добавим $- 2$ и $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.4.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

Этап 6.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Этап 6.6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Этап 6.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Этап 6.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Этап 6.9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 6.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 6.10.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 6.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 6.10.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 6.10.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 6.10.3.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 6.10.3.5

Объединим $4$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 6.10.3.6

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 6.10.3.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 6.10.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

Этап 6.10.3.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 6.10.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 6.10.3.11

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

Этап 6.10.3.12

Чтобы записать $\frac{28}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.10.3.13

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 6.10.3.14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.14.1

Умножим $\frac{28}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 6.10.3.14.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 6.10.3.14.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Этап 6.10.3.14.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

Этап 6.10.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

Этап 6.10.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.16.1

Умножим $28$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

Этап 6.10.3.16.2

Добавим $56$ и $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

Этап 6.10.3.17

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{59}{6}$ .

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

Этап 6.10.3.18

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{59}{24}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{59}{24}$

Десятичная форма:

$2.458\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{11}{24}$

Этап 8