Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{x} (3 x - 2) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 3 x - 2$ и $d v = \sqrt{x}$ .

$(3 x - 2) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d x$

Этап 2.3

Объединим $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $3$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} d x$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 2.5

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} d x$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d x$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d x$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} d x$

Этап 2.6.4

Разделим $2 x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (2 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Этап 6.2

Перепишем $(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ в виде $2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 6.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Этап 6.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 6.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 6.3.5

Чтобы записать $2 x^{\frac{5}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 6.3.6

Объединим $2 x^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 6.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 6.3.8

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 6.3.9

Вычтем $4 x^{\frac{5}{2}}$ из $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$