Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{x + 2} - 2}{x + 4}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{x + 2} - 2 \cdot \frac{x + 2}{x + 2}}{x + 4}$

Этап 1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{x + 2} + \frac{- 2 (x + 2)}{x + 2}}{x + 4}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x - 2 (x + 2)}{x + 2}}{x + 4}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 4} \frac{x - 2 (x + 2)}{x + 2} \cdot \frac{1}{x + 4}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{x - 2 (x + 2)}{x + 2}$ на $\frac{1}{x + 4}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{x - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 4)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 4} x - 2 (x + 2)}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 2 (x + 2)}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} x - 2 lim_{x \to - 4} x + 2}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} x - 2 (lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 2)}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} x - 2 (lim_{x \to - 4} x + 2)}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{- 4 - 2 (lim_{x \to - 4} x + 2)}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{- 4 - 2 (- 4 + 2)}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1.1

Добавим $- 4$ и $2$ .

$\frac{- 4 - 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2.6.1.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.2.6.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} (x + 2) (x + 4)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 2 \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 2) \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 3.1.3.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 4} x + 2) \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 3.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 4} x + 2) \cdot (lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 4} x + 2) \cdot (lim_{x \to - 4} x + 4)}$

Этап 3.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{0}{(- 4 + 2) \cdot (lim_{x \to - 4} x + 4)}$

Этап 3.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{0}{(- 4 + 2) \cdot (- 4 + 4)}$

Этап 3.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Добавим $- 4$ и $2$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot (- 4 + 4)}$

Этап 3.1.3.7.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 0}$

Этап 3.1.3.7.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 4} \frac{x - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 4)} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2 (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2 (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x - 2 (x + 2)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 (x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 (x + 2)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 (x + 2)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x + 2]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.4.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{1 - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{1 - 2 (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.4.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{1 - 2 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.4.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 4)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 2$ и $g (x) = x + 4$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{(x + 2) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{(x + 2) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{(x + 2) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Этап 3.3.11

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{x + 2 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}$

Этап 3.3.12

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{x + 2 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{x + 2 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}$

Этап 3.3.14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{x + 2 + (x + 4) (1 + 0)}$

Этап 3.3.15

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{x + 2 + (x + 4) \cdot 1}$

Этап 3.3.16

Умножим $x + 4$ на $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{x + 2 + x + 4}$

Этап 3.3.17

Добавим $x$ и $x$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{2 x + 2 + 4}$

Этап 3.3.18

Добавим $2$ и $4$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{- 1}{2 x + 6}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} - 1}{lim_{x \to - 4} 2 x + 6}$

Этап 4.2

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to - 4} 2 x + 6}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to - 4} 2 x + lim_{x \to - 4} 6}$

Этап 4.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 1}{2 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 6}$

Этап 4.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{- 1}{2 lim_{x \to - 4} x + 6}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot - 4 + 6}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{- 1}{- 8 + 6}$

Этап 6.1.2

Добавим $- 8$ и $6$ .

$\frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$