Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{2} x^{2} - x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - x d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{7}{3} - (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{7}{3} - (2 - \frac{1}{2})$

Этап 6.2.3.10

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.2.3.11

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 6.2.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.13.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{7}{3} - \frac{4 - 1}{2}$

Этап 6.2.3.13.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{7}{3} - \frac{3}{2}$

Этап 6.2.3.14

Чтобы записать $\frac{7}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 6.2.3.15

Чтобы записать $- \frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.16.1

Умножим $\frac{7}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3.16.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3.16.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2.3.16.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6}$

Этап 6.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 \cdot 2 - 3 \cdot 3}{6}$

Этап 6.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.18.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{14 - 3 \cdot 3}{6}$

Этап 6.2.3.18.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{14 - 9}{6}$

Этап 6.2.3.18.3

Вычтем $9$ из $14$ .

$\frac{5}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{6}$

Десятичная форма:

$0.8\overline{3}$

Этап 8