Математический анализ Примеры

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d y} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x x' + 2 y)$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x x' + 2 y)$

Этап 2.7.2

Изменим порядок множителей в $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x x' + 2 y)$ .

$(2 x x' + 2 y) (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $25$ является константой относительно $y$ , производная $25 (x^{2} - y^{2})$ по $y$ равна $25 \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$25 (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$25 (2 x x' + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$25 (2 x x' - \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (2 x x' - (2 y))$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$25 (2 x x' - 2 y)$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (2 x x') + 25 (- 2 y)$

Этап 3.7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Умножим $2$ на $25$ .

$50 (x x') + 25 (- 2 y)$

Этап 3.7.2.2

Умножим $- 2$ на $25$ .

$50 x x' - 50 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(2 x x' + 2 y) (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $(2 x x' + 2 y) (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (2 x x' + 2 y) (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(2 x x' + 2 y) (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.3

Развернем $(2 x x' + 2 y) (4 x^{2} + 4 y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x x' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x x' (4 x^{2}) + 2 x x' (4 y^{2}) + 2 y (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x x' (4 x^{2}) + 2 x x' (4 y^{2}) + 2 y (4 x^{2}) + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) x' \cdot 4 + 2 x x' (4 y^{2}) + 2 y (4 x^{2}) + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) x' \cdot 4 + 2 x x' (4 y^{2}) + 2 y (4 x^{2}) + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 1} x' \cdot 4 + 2 x x' (4 y^{2}) + 2 y (4 x^{2}) + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{3} x' \cdot 4 + 2 x x' (4 y^{2}) + 2 y (4 x^{2}) + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} x' + 2 x x' (4 y^{2}) + 2 y (4 x^{2}) + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 2 y (4 x^{2}) + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 2 \cdot 4 y x^{2} + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.5

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y x^{2} + 2 y (4 y^{2}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y x^{2} + 2 \cdot 4 y \cdot y^{2} = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y x^{2} + 2 \cdot 4 (y^{2} y) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y x^{2} + 2 \cdot 4 (y^{2} y^{1}) = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y x^{2} + 2 \cdot 4 y^{2 + 1} = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y x^{2} + 2 \cdot 4 y^{3} = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.1.4.8

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y x^{2} + 8 y^{3} = 50 x x' - 50 y$

Этап 5.2

Вычтем $50 x x'$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y x^{2} + 8 y^{3} - 50 x x' = - 50 y$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $8 y x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} + 8 y^{3} - 50 x x' = - 50 y - 8 y x^{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $8 y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} - 50 x x' = - 50 y - 8 y x^{2} - 8 y^{3}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2 x x'$ из $8 x^{3} x' + 8 x x' y^{2} - 50 x x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2 x x'$ из $8 x^{3} x'$ .

$2 x x' (4 x^{2}) + 8 x x' y^{2} - 50 x x' = - 50 y - 8 y x^{2} - 8 y^{3}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2 x x'$ из $8 x x' y^{2}$ .

$2 x x' (4 x^{2}) + 2 x x' (4 y^{2}) - 50 x x' = - 50 y - 8 y x^{2} - 8 y^{3}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2 x x'$ из $- 50 x x'$ .

$2 x x' (4 x^{2}) + 2 x x' (4 y^{2}) + 2 x x' \cdot - 25 = - 50 y - 8 y x^{2} - 8 y^{3}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $2 x x'$ из $2 x x' (4 x^{2}) + 2 x x' (4 y^{2})$ .

$2 x x' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 x x' \cdot - 25 = - 50 y - 8 y x^{2} - 8 y^{3}$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $2 x x'$ из $2 x x' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 x x' \cdot - 25$ .

$2 x x' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25) = - 50 y - 8 y x^{2} - 8 y^{3}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $2 x x' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25) = - 50 y - 8 y x^{2} - 8 y^{3}$ на $2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $2 x x' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25) = - 50 y - 8 y x^{2} - 8 y^{3}$ на $2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)$ .

$\frac{2 x x' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} = \frac{- 50 y}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x x' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} = \frac{- 50 y}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} = \frac{- 50 y}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $4 x^{2} + 4 y^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.5.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 50 y}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 50$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 50 y$ .

$x' = \frac{2 (- 25 y)}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)$ .

$x' = \frac{2 (- 25 y)}{2 (x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25))} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 (- 25 y)}{2 (x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25))} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- 25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{(25) y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y x^{2}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.3

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 y x^{2}$ .

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{2 (- 4 y x^{2})}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)$ .

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{2 (- 4 y x^{2})}{2 (x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25))} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{2 (- 4 y x^{2})}{2 (x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25))} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 4 y x^{2}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 y x^{2}$ .

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{x (- 4 y x)}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{x (- 4 y x)}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} + \frac{- 4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{(4) y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} + \frac{- 8 y^{3}}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.6

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 y^{3}$ .

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} + \frac{2 (- 4 y^{3})}{2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)$ .

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} + \frac{2 (- 4 y^{3})}{2 (x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25))}$

Этап 5.5.3.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} + \frac{2 (- 4 y^{3})}{2 (x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25))}$

Этап 5.5.3.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} + \frac{- 4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} - \frac{4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25} \cdot \frac{x}{x} - \frac{4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Умножим $\frac{4 y x}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25}$ на $\frac{x}{x}$ .

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y x \cdot x}{(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25) x} - \frac{4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25) x$ .

$x' = - \frac{25 y}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y x \cdot x}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 25 y - 4 y x \cdot x}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)} - \frac{4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 25 y - 4 y x \cdot x - 4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.6.1

Перенесем $x$ .

$x' = \frac{- 25 y - 4 y (x \cdot x) - 4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x' = \frac{- 25 y - 4 y x^{2} - 4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.7

Вынесем множитель $y$ из $- 25 y - 4 y x^{2} - 4 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.7.1

Вынесем множитель $y$ из $- 25 y$ .

$x' = \frac{y \cdot - 25 - 4 y x^{2} - 4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.7.2

Вынесем множитель $y$ из $- 4 y x^{2}$ .

$x' = \frac{y \cdot - 25 + y (- 4 x^{2}) - 4 y^{3}}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.7.3

Вынесем множитель $y$ из $- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{y \cdot - 25 + y (- 4 x^{2}) + y (- 4 y^{2})}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.7.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 25 + y (- 4 x^{2})$ .

$x' = \frac{y \cdot (- 25 - 4 x^{2}) + y (- 4 y^{2})}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.7.5

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot (- 25 - 4 x^{2}) + y (- 4 y^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 25 - 4 x^{2} - 4 y^{2})}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.8

Перепишем $- 25$ в виде $- 1 (25)$ .

$x' = \frac{y (- 1 (25) - 4 x^{2} - 4 y^{2})}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (25) - (4 x^{2}) - 4 y^{2})}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (25) - (4 x^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (25 + 4 x^{2}) - 4 y^{2})}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 y^{2}$ .

$x' = \frac{y (- 1 (25 + 4 x^{2}) - (4 y^{2}))}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (25 + 4 x^{2}) - (4 y^{2})$ .

$x' = \frac{y (- 1 (25 + 4 x^{2} + 4 y^{2}))}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 5.5.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{y (25 + 4 x^{2} + 4 y^{2})}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y (25 + 4 x^{2} + 4 y^{2})}{x (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25)}$