Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 2 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $4 \cos^{2} (t)$ в виде ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{2 \cos (t)}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.2

Применим правило умножения к $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{2^{2} \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{2 (\cos (t))}{4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 (\cos (t))}{2 (2 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 \cos (t)}{2 (2 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.5

Объединим $2$ и $\frac{\cos (t)}{2 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 2.2.6

Объединим $\frac{2 \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)}$ и $\cos (t)$ .

$\int \frac{2 \cos (t) \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.7

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{2 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.8

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{2 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{2 {\cos (t)}^{1 + 1}}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 \cos^{2} (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.11.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.12

Переведем $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ в $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (t)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Этап 6

Поскольку производная $- \cot (t)$ равна $\csc^{2} (t)$ , интеграл $\csc^{2} (t)$ равен $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Этап 7

Упростим.

$- t - \cot (t) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$