Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} (x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{1} x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Этап 10

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1})$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Этап 12.2.3

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Этап 12.2.4

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $1$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.7

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.7.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (0)}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.8

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.12

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.14

Добавим $1$ и $1$ .

$0 + 2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.15

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.16

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + \frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.17

Добавим $0$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.18

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.19

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.21

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.22

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.22.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.22.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.22.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.22.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.22.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{4}{3} - 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.23

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.24

Добавим $\frac{4}{3}$ и $0$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.25

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Этап 12.2.5.26

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5})$

Этап 12.2.5.27

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - - \frac{1}{5})$

Этап 12.2.5.28

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5}))$

Этап 12.2.5.29

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Этап 12.2.5.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} + 5 \frac{1 + 1}{5}$

Этап 12.2.5.31

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{2}{5})$

Этап 12.2.5.32

Объединим $5$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

Этап 12.2.5.33

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{10}{5}$

Этап 12.2.5.34

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.34.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

Этап 12.2.5.34.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.34.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Этап 12.2.5.34.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.34.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} + \frac{2}{1}$

Этап 12.2.5.34.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{4}{3} + 2$

Этап 12.2.5.35

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 12.2.5.36

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.5.37

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.5.38

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.38.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 + 6}{3}$

Этап 12.2.5.38.2

Добавим $4$ и $6$ .

$\frac{10}{3}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{10}{3}$

Десятичная форма:

$3.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$3 \frac{1}{3}$

Этап 14